引言

在无线通信和信道编码领域，信噪比（SNR）和比特能量与噪声功率谱密度比（Eb/N0）是两个至关重要的概念。它们在评估通信系统的性能时经常被提及，但很多人对它们的关系不甚了解。本文将依次介绍 SNR 和 Eb/N0，并推导出它们之间的转换公式。

1. 信噪比（SNR）

信噪比（Signal-to-Noise Ratio, SNR）表示信号功率与噪声功率的比值，通常用分贝（dB）表示，其定义如下：

$$SNR = \frac{P_s}{P_n}$$

其中，$P_s$是信号的平均功率，$P_n$是噪声的平均功率。

2. 比特能量与噪声功率谱密度比（Eb/N0）

Eb/N0（Energy per Bit to Noise Power Spectral Density Ratio）表示每比特能量与噪声功率谱密度的比值，定义如下：

$$\frac{E_b}{N_0}$$

其中，$E_b$是每个比特的平均能量，$N_0$是噪声的功率谱密度。

3. 推导

$E_b = \frac{P_s}{R_b}$，在AWGN信道的情况下，$P_n = N_0 \cdot B = \sigma^2$。

$$\frac{E_b}{N_0} = \frac{\frac{P_s}{R_b}}{\frac{P_n}{B}} = \frac{P_s}{P_n} \cdot \frac{B}{R_b} = SNR \cdot \frac{B}{R_b}$$

如果我们转换成dB形式：

$$10log_{10}(\frac{E_b}{N_0}) = 10log_{10}(SNR \cdot \frac{B}{R_b}) $$

$$\frac{E_b}{N_0} (dB)= SNR(dB) + 10log_{10}(\frac{B}{R_b})$$

其中

• $\frac{R_b}{B}$ 带宽效率，Spectral Efficiency
• $R_b$ 比特率，Bit Rate
• $B$ 带宽，Bandwidth

在 M 阶 QAM（M-QAM）调制下，每个符号可以表示 $log_{2}{M}$ 个比特，因此符号率 $R_s$​ 为：

$$R_s = \frac{R_b}{log_{2}(M)}$$

对于一般的 QAM 调制，所需的带宽 B 通常近似为符号率 $R_s$​ ，即：

$$B \approx R_s = \frac{R_b}{log_{2}(M)}$$

因此，M-QAM的带宽效率可以近似为：

$$k = log_{2}(M)$$

因此在使用M-QAM调制的时候，$SNR$和$\frac{E_b}{N_0}$的公式可以近似为：

$$\frac{E_b}{N_0} (dB)= SNR(dB) + 10log_{10}(k)$$